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Vergleicht man die Gleichung (50) mit ihrer L/APLACESchen Transformirten (47), 

 so ergieht sich, dass die Gradzahl jeder dieser Gleichungen in Bezug auf die 

 unabhängige Variable gleich der Ordnungszahl der anderen ist, 



Zwischen der Differentialgleichung (50) und ihrer LAriACEschen Transfor- 

 mirten (47) besteht eine bemerkenswerthe Reciprocität, die wohl zuerst von 

 Petzval entdeckt worden ist. 



Ersetzt man nämlich in der LAGKANGEschen Identität: 



'ÈA© £-»2(- or£i/.«w=iÈ2(- o^p.£[/.«w 



z durch e _r ' und ?/ durch ein beliebiges Integral ip (t) der Differentialgleichung 

 (50), wo die unabhängige Variaide nunmehr durch t bezeichnet wird, so ergiebt 

 sich durch Integration zwischen bestimmten Grenzen und mit Benutzung von 

 (46), wo jetzt f(o) = Q r anzunehmen ist: 



" '=" '» v—l v-l—k ,. 



V=l k=V 



Ist also V ein beliebiges Integral der Differentialgleichung (50), so genügt 

 das bestimmte Integral 



b 



(50 T (*)= §c-"ip(t)dt 



a 



der liAVLACKschen Transformirten derselben Gleichung, d. h. der Gleichung: 



M) î/.(-,s)-V=°. 



wofern die Grenzen des Integrals die Bedingung erfüllen: 



, li=U=0 <" 



Der Zusammenhang zwischen den Gleichungen (50) und (52) wird also 

 durch die beiden Integralformeln (49) und (51) vermittelt. 



