über lineare Differentialgleichungen. 31 



§ 7- 



Multiplicirt man die Gleichung (21), wo die unabhängige Variable durch 

 / bezeichnet werde, mit t~ l und ersetzt darin s durch tz, so ergiebt sich die 

 LAGRANaESche Identität in der Form: 



m m m 



i>=0 l>=0 v=0 



Ersetzt man weiter z durch ein beliebiges Integral <f>(t) der Differential- 

 gleichung : 



m 



(53) I^(-'|-')«**=°. 



und // durch jr (.ci), wobei 7 zunächst irgend eine willkürliche Function bedeute, 

 so folgt durch Integration zwischen bestimmten, von dem Parameter x unab- 

 hängigen Grenzen: 



2 f*-*(of*,(*s)x(*o=2 f*-*(^jp;(*é)z(«o= 



Durch passende Specialisirungen von ^ können hieraus verscliiedene Sätze 

 abgeleitet werden. Die LAPi,ACEsche Transformation von Differenzen-Gleichun- 

 gen ist z. B. als specieller Fall in dieser Formel enthalten. Nimmt man in 



der That %(t) = t g an und beachtet, dass F v y' j-)x 9 =x 9 ]? v (q) ist, so hat 



man den Satz: 



Ist ein integrirender Factor der Differentialgleichung: 



»1 



(55) l tV F„(t^y = o, 



d. h. ist ein Integral der Differentialgleichung (53), so gen/igt das bestimmte 

 Integral 



