32 Hj. Mellin. 



b 



(56) ip(o)=fé (t) t* dt 



(i 



der Differenzen- Gleichung : 



tu 



(57) ^F v (q)v(q + v) = o, 

 wofern die Grenzen des Integrals die Bedingung erfüllen : 



t=i 



v=0 t = 



= o. 



Die Ermittelung von Lösungen von (57) wird also durch das bestimmte 

 Integral (56) zurückgeführt auf die Integration der Differentialgleichung (53), 

 welche somit die LAPLACEsche Transformirte der Differenzen-Gleichung (57) ist. 



Aber auch die LAPLACESche Transformation von Differentialgleichungen ist 

 als specieller Fall in der Formel (54) enthalten. Setzt man nämlich i{t) — é 

 und : 



ns(x) = Ce x, (t) dt , ~ 7> = Ce*' (0 f 

 J dx J 



dt , 



so ergiebt sich aus (54) der Satz: 



Ist ein integrirender Factor von (55), d. h. ist ein Integral der 

 Differentialgleichung (53), so genügt das bestimmte Integral 



b 



(58) H>-(x)=(e x '0(t)dt 



a 



der Differentialgleichung : 



wofern die Grenzen des Integrals die Bedingung erfüllen: 



V=0 , - a 



