Über lineare Differentialgleichungen. 33 



Nimmt man an. die Gleichung (55) sei nur eine andere Form von (48), 

 so wird gemäss dem § 1 die linke Seite von (48) nach Multiplication mit einer 

 passenden Potenz z* mit der linken Seite von (55) identisch. Berücksichtigt 

 man, welche einfache Veränderung die adjungirte Differentialgleichung von (48) 

 hierbei erfährt, und dass sie zugleich mit der adjungirten von (55) identisch 

 wird, so ergieht sich zwischen den Integralen (49) und (58) die Beziehung: 



§ 8. 



Aus Gründen, auf die wir hei dieser Gelegenheit nicht eingehen wollen, 

 können die Grenzen der hei der LAFiACESchen Transformation von Differential- 

 gleichungen benutzten Integrale unbeschadet der Allgemeinheit von dem Para- 

 meter x unabhängig angenommen werden. Bei den nunmehr in Betracht zu 

 nehmenden Integralen : 



(60) Je« -ovo 



(0 



soll aber der Werth t — x als Integrationsgrenze nicht ausgeschlossen sein. In 

 gewissen Fällen kann dieser Werth t=x sogar gleichzeitig als obere und untere 

 Grenze verwendet werden, was den Sinn hat, dass die Integration über eine 

 geschlossene Curve erstreckt wird, die vom Punkte t — x ausgehend nach dem- 

 selben Punkte zurück führt. 



Man überzeugt sich leicht, dass die Differentiation des Integrals (60) je- 

 denfalls gemäss der Formel: 



(6» éj(*- ovo *=/£(* -ovo dt 



ausgeführt werden kann, wofern nur in dem Falle, dass t — x Integrations- 

 grenze ist, der reelle Theil von a positiv ist. Diese Bedingung ist in dem 

 genannten Falle eine nothwendige, denn sonnst hat die rechte Seite keinen be- 

 stimmten Sinn. Dass sie in demselben Falle auch eine hinreichende Bedingung 

 für die Gültigkeit von (61) ist, folgt aus der evidenten Gleichung: 



