Über linean Differentialgleichungen. 37 



übereinstimmt. Hai man unter der Annahme, dass </ und ip gegebene Lineare 

 Differentialgleichungen befriedigen, eine ebensolche Gleichung für das eine von 

 den Integralen (67) und (68) ermittelt, so lässt sich ohne JVIülie auch eine 

 Differentialgleichung für das andere angelten. Ms zeigt sieh aber, dass die zu 

 bestimmende Differentialgleichung mit Rücksicht auf die gegebenen sieh am 

 einfachsten gestaltet, wenn das Integral (68) zum Gegenstand der Untersuchung 

 gemacht wird. Deswegen und weil das Integral (68) zugleich die Eigenheil hat. 

 dass es sich unter allen Integralen der Form: 



(69) JV(;) <r (t)fät 



to 



bei der Substitution -j = t am einfachsten ändert, soll in erster Linie eine Dif- 



t 



ferentialgleichung für (68) ermittelt werden. Ist dieselbe gefunden, so lässt 

 sich auch eine Differentialgleichung für das scheinbar allgemeinere Integral 

 (69) unmittelbar angeben. 



In diesem § wird zuvörderst der einfachste Fall behandelt, wo </< und '/' 

 beide hypergeometrische Functionen sind, d. h. wo sie beide Gleichungen von 

 der Form: 



00) /(*s)*<0=<*('s)*(0. 



(TD F (t^if) = tG{t^{i) 



befriedigen. Ersetzen wir in der Gleichung (70) t durch — und sehen x als 



t 



die neue unabhängige Variable an, so haben wir: 



m 4£RM4^ 



Wird (71) mit t~ l \p ( - ) und (72) mit tp(t) multiplient, so folgt durch Integra- 

 tion der so entstehenden Gleichungen: 



^*(*M'*Mo =/?*(*)*(' «Mo. 



m (o 



