44 Hj. Mellin. 



Wird die Function y (t) sammt ihi'en in den Ausdrücken (96) vorhandenen 

 Ableitungen für t-a und t = b gleich der Null, so ist S = o, wenn das Inte- 

 gral (92) zwischen den Grenzen t — a und t = b genommen wird. 



Wird die Function q> (t) sammt ihren in den Ausdrücken (96) vorhandenen 

 Ableitungen für t — a gleich der Null, und ebenso die Function rp(t) sammt 



ihren in denselben Ausdrücken vorhandenen Ableitungen für t = -y gleich der 



Null, so ist S = o, wenn das Integral (92) zwischen den Grenzen t = a und 

 t — bx genommen wird. 



Wird die Function xp (t) sammt ihren in den Ausdrücken (96) vorhandenen 



Ableitungen für t — ~ und t=-r gleich der Null, so ist 8 — 0. wenn das Inte- 



a 



gral (92) zwischen den Grenzen t = ax und t = bx genommen wird. 



In allen diesen Fällen genügt also das Integral (92) der Differential- 

 gleichung (95). 



Damit die Grenzen des Integrals (92) die Bedingung S—o erfüllen mögen, 

 ist man in den meisten Fällen genötigt, die oben erwähnten Stellen t = a, t = b, 



t = — , t = -r unter den singulären Stellen der Differentialgleichungen (93) und 



(94) auszuwählen. Der Grund hierfür hegt in dem Satze, dass jedes Integral 

 einer linearen Differentialgleichung n'"' Ordnung, welches sammt seinen (n — 1) 

 ersten Ableitungen an einer regulären Stelle verschwindet, identisch gleich der 

 Null sein muss. 



Durch den obigen Satz ist die erste am Anfange dieser Arbeit aufgewor- 

 fene Frage für den Fall beantwortet, dass die Function if>, welche in dem 

 Integrale (92) den Parameter x enthält, eine hypergeometrische Function ist, 

 während <p eine beliebige homogene lineare Differentialgleichung mit rationalen 

 Coefficienten befriedigen darf. Der umgekehrte Fall, wo 9 den Parameter 

 enthält, lässt sich unmittelbar auf den ersteren Fall zurückführen. Denn durch 



die Substitution — = t wird: 



T 



j*(^M?=jV(f),w!, 



U) (') 



und zwar sind die Grenzen der beiden Integrale mit einander folgenderweise 



verbunden, wobei — = ß und -r = a ist: 



a v b 



ß bx ßX bx ßX b 



C .d* C , ät C .dr C , dt f , dt C , dt 



J»* T =JV» T , J9^-=jl'9- t , J*V T =J?» T . 



