fil i III. M EL LIN. 



I, h h 



ijj (p) = I ip (x) x 9 dx , (x) = I tp (x) x 9 dx , X (q) = I % {x) x 9 dx . 



a >i a 



Nach einem in § 7 bewiesenen Satze können diejenigen homogenen linearen 

 Differenzen-Gleichungen ohne Mühe angegeben werden, welche die resp. Func- 

 tionen 'I'Xq), $(q), X(q) unter der Voraussetzung befriedigen, dass die Inte- 

 grationsgrenzen gewisse Bedingungen erfüllen. Zu dem Ende beachte man 

 zunächst, dass die adjnngirten Differentialgleichungen von (93), (94), (95) be- 

 züglich folgenderweise lauten: 



m 



Y À x v Fv(-^-v-i)y = o, 



MI 



'%x v F v (-9-v-i)g(-&-2)---g(-»-v-i)f(-&-m)---f(-fr-v-i)y=o, 



wo zur Abkürzung %j- = ft gesetzt ist, Nach dem fraglichen Satze des § 7 



befriedigen nun die Functionen w(q),0(q), X(q), wenn gewisse Bedingungen 

 erfüllt sind, die nachstehenden Differenzen-Gleichungen: 



(127) f(-Q- 1 )'I s (o)=ff(-Q- 2 )HQ + ï )> 



»i 



(128) ^ t F^{-Q-V-l)0(Q + v)=P, 



V=zQ 



m 



(m^F£-Q-v-i)g(-Q-2y--g(-Q-v~i)f(-Q-m)---f(-Q-v-i)X(<^)=o. 



V=l) 



Zu beachten ist aber jetzt, dass die Gleichung (129) in einem sehr ein- 

 fachen Zusammenhange mit den Gleichungen (127) und (128) steht. Die Gleichung 



(129) wird nämlich offenbar erhalten, wenn man unter der Annahme, dass '<!'({)) 

 und <X>(q) die resp. Gleichungen (127) und (128) befriedigen, eine Differenzen- 

 Gleichung für das Product w(j})&(q) ermittelt. Dies veranlasst uns zu der 

 Vermuthung, dass sich das Integral A"(o) als Product von den beiden Integra- 

 len &(y) und >I>'(q) darstellen lässt, Dass dies unter gewissen Voraussetzungen 

 wirklich der Fall ist, kann folgenderweise evident gemacht werden. Wir neh- 

 men erstens an, dass die untere Grenze a in allen unseren Integralen =0 ist, 



