1. 1 our mieux taire comprendre l'idée de notre démonstration nous allons 

 considérer d'abord le cas d'une seule équation différentielle 



0) g = «*,«>■ 



Nous supposons que f(x, //) est une fonction analytique de x et de y, holo- 

 morphe pour x = o, y = o, en sorte qu'on ait 



(2) f(x,y) = 2jA M „x'"!/", 



m, h 



la série du second membre étant convergente tant que les modules de x et de y 

 restent inférieurs à certaines limites, et nous nous proposons de démontrer que 

 l'équation (i) admet une intégrale qui se réduise à zéro, pour x = o, et qui soit 

 holomorphe pour les valeurs de x de module suffisamment petit. 



On aura d'abord à démontrer qu'il est possible de satisfaire formellement 

 à l'équation (i) par une série suivant les puissances entières et positives de x 



(3) y = c 1 x + e 2 x 2 + h c n x" + , 



les c désignant des constantes. A cet effet substituons dans l'équation (i) 

 l'expression précédente de y; on aura 



(4) £= Cl + 2c 2 x+--- + nc n x + , 



et d'autre part 



(5) /"(», y) = % + <f\ ■'- + <f 2 x 2 + -I- <P„ x" + ■■■, 



