4 Ernst Lindelöf. 



les (f étant des polynômes par rapport aux c et par rapport aux coefficients 

 A de la série (2). Il est d'ailleurs facile de voir que (p est une constante 



indépendante des c, et que c/, ne dépend que de c 1} <p 2 de c, et c 2 , , 



</ „ de fi , c 2 , • ■ • , c„ , ce que nous mettons en évidence en écrivant 



<fi- V,(W2>---' C <) (' = ^ 2 '-'-)- 



Cela posé, pour que l'équation proposée soit satisfaite par la série (3), il 

 faut que les termes correspondants des séries (4) et (5) soient égaux entre eux, 

 ou bien que 



h = 9>o i 



2c,,= (f l (r,) , 

 ( 6) 3 C 3 = <p 2 (q , c,) , 



î 



'"« = 9 , _l(«l» C 2»"î» C .-l)» 



En résolvant successivement ces égalités, on déterminera sans ambiguïté les 

 constantes c, et nous pouvons donc affirmer qu'il existe une série (3) bien dé- 

 terminée qui vérifie l'équation (1) formellement. Il reste à en prouver la con- 

 vergence, et c'est dans cette partie que notre démonstration diffère essentielle- 

 ment de celles qui ont été proposées jusqu'ici. 



Au lieu de l'équation (1) nous allons considérer la suivante 



(7) ^ = f(x,y)=^\A m ,,la:"'y". 



m, h 



La série du second membre sera convergente pour les valeurs de x et 

 de y comprises dans certains cercles, soit pour 



soit M un nombre positif supérieur au module de /'(.t ; ,?/) dans ces cercles. 

 Cherchons encore à satisfaire à l'équation (7) par une série 



(8) Y=^C l x+C 2 x 2 + + C n x" + ; 



on sera conduit, pour la détermination des C, aux équations: 



