Démonstration <lu théorème de Cauchy. •> 



G\ = y.M 



(9) 3 C s = y 2 (C'j , <7 2 ) , 



nC H = ^.,(c 1 ,t;,.-,t;j, 



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les <*> désignant les coefficients successifs du développement 



f(x, Y) = <f lt + (f^x + (p 2 x 2 + + <f n x" + . 



D'ailleurs les y sont évidemment les mêmes fonctions par rapport aux | A | et 

 aux C que les <p par rapport aux A et aux c ; par l'apport aux C , en par- 

 ticulier, elles sont des polynômes à coefficients positifs supérieurs ou égaux aux 

 modules des coefficients correspondants des <p . En rapprochant les équations 

 (9) des équations (6), on en conclut que les constantes C sont toutes positives 

 et supérieures ou certainement non inférieures aux modules des constantes c de 

 même indice, et par suite, on sera assuré de la convergence de la série (3) 

 une fois qu'on aura démontré que la série (8) converge. 



Or, cette dernière démonstration ne présente aucune difficulté. En effet, 

 désignons par Y^ l'expression 



} /i = Cj x + G 2 .1 + -i- Cp x , 



et d'une manière analogue, F étant une fonction quelconque développable sui- 

 vant les puissances entières et positives de x , par [F] la somme des premiers 

 termes du développement de F jusqu'au terme en x M inclusivement. Puisque 

 les développements des expressions 



§ et f(x,Y) 



sont identiques, d'après la manière même dont nous avons formé la série Y, 

 on aura 



lY Jt _ xï(„ vYi - „ _l .r, , _l ,„ a>-i . 



ilx 



= [/(*, Y )\-x = % + V' l '+ 9V-i 



Mais nous avons vu que y> , y, ••• , (p ne dépendent pas des constantes 

 Cft , Cfi +1 , On aura donc 



