Démonstration du théorème de Cauchy. 



La seconde équation (10) nous donne donc 



d'où il suit, en intégrant. 



dY 2 



Y 2 <Mx^M r M = r 



x restant toujours dans l'intervalle (u). D'une manière générale, supposons 

 qu'on ait, dans le même intervalle, 



Y/i-i < r ; 

 on en tirera 



et par suite, d'après la dernière équation (10), 



ou encore 



F^ < Mx <; r . 



Donc, les polynômes Y u Y 2 ,--, Y^,-- sont tous inférieurs à r, pour les va- 

 leurs (11) de x, et on en conclut, en passant à la limite, qu'il en est de même 

 de la série Y. Cette série, ayant une somme finie pour x = h, sera par suite 

 convergente pour 



| x | £ h . 



En remontant à l'équation proposée (i), nous pouvons donc affirmer qu'elle 

 admet une intégrale se réduisant à zéro pour x = o , et qui est holomorphe 

 dans le cercle ayant l'origine pour centre et pour rayon la plus petite des deux 

 quantités 



« et M' 



2. Passons maintenant au cas d'un système de n équations différentielles 

 ordinaires : 



( l ) % = F i (x,y 1 ,y 2 ,---,y t ) (i = 1,2, ■ •.,«) . 



En supposant que les F soient des fonctions analytiques holomorphes dans le 



voisinage des valeurs 



u n 



