8 Ernst Lindklöf. 



nous nous proposons de démontrer que ces équations admettent un système 

 d'intégrales se réduisant respectivement, pour x = x , à 



, Ü i . 



Vi + Vi, y 2 + V2i i?A, + ^ 



et qui soient développaldes en séries suivant les puissances entières et positives 

 des quantités 



Faisons un changement de variables, en posant 



x = x Q + x, yi = y°i+Vi + yi («'= 1,2, ••-,«); 



le système (1) sera transformé en un système d'équations différentielles entre 

 x, y x , y 2 , •••, y n , dont on aura à chercher les intégrales qui, pour x = o, 

 se réduisent à zéro. Quant, aux quantités y l} rj 2 , -■•, ^„, elles joueront, dans le 

 nouveau système, le rôle de paramètres, et l'on voit par suite, que le théorème 

 que nous venons d'énoncer se ramène au suivant, qui comporte même un plus 

 haut degré de généralité que le premier: 



Soit donné le système des équations différentielles 



(2) 2' = /;(r, ,,,,.-. ,,/„;;,, ■■•A) (*=1, 2, ...,«), 



°" fit'"ifn son t des fonctions analytiques des variables x, y 1 , •••, y„ et des 

 paramètres X t , • • • , X m , développables en séries suivant les puissances entières et 

 positives de toutes ces quantités: 



ces séries étant convergentes pour les valeurs des arguments de module suffi- 

 samment petit; ces conditions supposées remplies, il existe un système d'inté- 

 grales des équations (2) qui, pour x = o, se réduisent à zéro, et qui sont dé- 

 veloppables suivant les puissances de 



en séries convergentes, tant que les modules de ces quantités restent inférieurs 

 à certaines limites. 



Si dans le système (2) nous substituons aux y les séries 



ce co oo 



