Demonstratio)! ilu théorème de Gauchy. 9 



les f se présenteront sous forme de séries suivant les puissances de x , ) n , /U , • ■ ■ , X m : 



f. = YqP x fl ^.-.X v '" rt=i.a,...fi); 



il, V 



il est facile de voir que les y sont des polynômes par rapport aux A et aux 

 c , et que w' } . . . ne dépend que de celles des constantes c dont les indi- 

 ces inférieurs ne dépassent pas les nombres (i , v x , ■■■ , »•„, respectivement. Par 

 suite, les relations 



(4) *<£*.•■. =^- ll , 1 ..., /^i,2,... H ;^ =1 ,2, -\ 



\ v l l v 2l ' i *>« — u ) ' i - i ^ / 



obtenues en exprimant que le système (2) est vérifié par les séries (3), déter- 

 minent successivement et sans ambiguïté les constantes c, et il existe donc un 

 système de séries (3) bien déterminées satisfaisant formellement au système 

 proposé. 



Pour démontrer la convergence de ces séries, nous allons encore remplacer 

 le système (2) par le suivant: 



En raisonnant comme ci-dessus, on trouve que ces équations sont vérifiées 

 formellement par les séries 



CO CO CO 



dont les coefficients sont déterminés par les formules de récurrence 



( 4 Y nC {i) = «/° /î=1,2,...,m;/*=1,2, co\, 



\ V 1 ,V z ,...,V m = 0, 1,2, ...oo / 



les y désignant les coefficients successifs des développements 



fi " 



Il est d'ailleurs évident que les fonctions y sont identiques aux <p à cette dif- 

 férence près que les quantités A et c y sont remplacées par les |.4| et les C. 

 En rapprochant les systèmes (4) et (4)', on en conclut que les constantes C, 

 nécessairement positives, sont supérieures ou égales aux modules des constantes 



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