10 Ernst Lindelöf. 



c de mêmes indices, en sorte que les séries (3) seront certainement convergentes 

 dans le même champ que les séries (3)'. 



Afin d'établir la convergence de ces dernières séries, il nous sera néces- 

 saire de fixer le champ où convergent les séries figurant aux seconds membres 

 des équations (2)'. Supposons qu'elles soient convergentes pour 



(5) l*l^»i !>/; 1<>\., IV^ * (i=i,2,...,n;t=i,a,... | m) 1 



en admettant, pour plus de simplicité, que la convergence subsiste encore sur 

 les limites du champ, et soient M x , M 2 , •■-, M K des nombres positifs supérieurs 

 respectivement aux modules des fonctions j\ ? /2 -, • • • , /» dans les domaines (5). 

 F étant une fonction quelconque développable suivant les puissances entières 

 et positives de x , A x , • ■ ■ , X m , et k , \ , ■ ■ ■ , k m des nombres entiers positifs, 

 nous nous servirons encore de la notation [ -F ] M - ...«•„, P our désigner le po- 

 lynôme composé par les termes du développement de F dans lesquels les ex- 

 posants de x , X x , ■ ■ • , X„ , sont inférieurs ou égaux aux nombres k , fc x , ■ • • , k,„ 

 respectivement; en particulier nous poserons 



p=l „ 1= o v m =0 



Cela posé, les développements des expressions 



dx /,v ' ' ° 



étant identiques d'après la manière même dont nous avons formé les séries 

 Y , on aura 



l"=0 r ,=O "„,= 



ou encore, puisque les <j> qui figurent au second membre ne dépendent que de 

 celles des constantes C dont les indices inférieurs ne dépassent pas les nombres 

 k — 1 , &! , • • • , k m , 



dY {i> 



(7) Lj ^- ! =[r>,i£î^..^A)^..^ (■■«».v--,«). 



formule de récurrence qui est fondamentale pour notre démonstration. 



Dans ce qui suit nous considérons les valeurs réelles et positives de 

 x , %! , ■ • ■ , X m , comprises dans les intervalles 

 (8) o <Ç x < A; o < ^ < ff,. (A= 1,2,-..,»»), 



