Demonstration du théorème de Cauchy. 11 



h désignant le plus petit des nombres 



'"i ''2 r« . 



e 



' M, ' M 2 ' ' J/ ' 



nous allons faire voir, en nous fondant sur la formule (7), que les polynômes 

 (6), pour ces valeurs des variables, vérifient les inégalités 



(9) Fi,\...* m <r. (i=l,2,...,n), 



et cela quelque (/rancis que soient les entiers k, /q, ••■ , k m . 

 En effet, pour fc=i, la formule (7) nous donne 



d.x 



= [/:(.i-,o,A,)] 



*')••■ *'»! 



Or, comme tous les termes du développement de /;(x,o,A,) sont positifs, poul- 

 ies valeurs positives de x , A x . • • • , X m , on aura 



mais le second membre est inférieur à M t , puisque les conditions (5) sont rem- 

 plies; il vient donc 



et par suite, en intégrant et observant que les polynômes (6) s'annulent pour 



x = 0, 



y[\ . . .,„, < M, x <M<h< 31, jj = ri (« = l , 2 , - . - , n) . 



La proposition est donc vraie pour k = 1 . Supposons maintenant qu'on l'eût 

 démontrée pour k = « — 1 ; on aurait 



ou bien, d'après la formule (7) , 



d'où l'on tirerait en intégrant 



1?*,...»!,, <Jft*^Jfty = fi (»' = 1,2,...,«). 



