12 Ernst Lindelöf. 



La proposition étant donc vraie pour h = n , si elle Test pour k = (t — i , nous 

 devons en conclure qu'elle est vraie pour toute valeur de k et que, par suite, 

 les inégalités (9) subsistent pour toutes les valeurs des indices k,k u ---, k m , 

 comme nous l'avions avancé. En d'autres termes, les séries (3)' auront une 

 somme finie pour les valeurs des variables comprises dans les intervalles (8), 

 et seront, par suite, certainement convergentes dans les cercles 



(10) \x\<Ch, | A, !<<?!, , | X„ | <Ç G„, . 



D'après ce que nous avons dit plus haut, il en sera de même des séries (3), 

 et nous pouvons donc affirmer, en retournant aux équations (2), qu'elles 

 admettent un système d'intégrales se réduisant à zéro, pour x = o , et qui sont 

 développables en séries suivant les puissances entières et positives de x , ^ , • • ■ X m , 

 ces séries étant convergentes dans les domaines (10). Le théorème de la p. 8 

 est donc démontré. 



Nous ferons observer, avant de quitter ce sujet, que le champ (10), où 

 nous avons démontré la convergence des séries (3) et (3)', est identique à celui 

 auquel on est conduit en appliquant aux équations (2)' la méthode des approxi- 

 mations successives J ). 



3. Pour établir l'existence des fonctions implicites, on a généralement 

 recours au théorème que nous venons de démontrer, mais on peut aussi, à 

 l'exemple de M. Picard 2 ), y parvenir sans passer par les équations différen- 

 tielles, notamment en s'appuyant sur le célèbre théorème de MM. Weierstrass 

 et Poincaré relatif à la décomposition en facteurs d'une fonction à plusieurs 

 variables. Nous allons faire voir comment, en supposant connue la théorie 

 des fonctions implicites, on peut démontrer, presque sans calcul, le théorème du 

 numéro précédent. En effet, comparons les équations différentielles (2)' au 

 système des équations finies 



(11) y i = xf i (x,y 1 ,-:-,y n ;X 1 ,'--,X m ) (i= l, 2, •■•,«) . 



La théorie des fonctions implicites nous apprend que, pour les valeurs des 

 variables de module suffisamment petit, les solutions de ces équations se pré- 

 sentent sous la forme 



') E. Picard: Traité d'Analyse, tome III p. 88. Voir aussi notre mémoire: Sur VappKcation des 

 méthodes d' approximations successives à r étude des intégrales réelles des équations différentielles 

 ordinaires; Journal de Mathématiques (4 e série), tome X, 1894. 



2 ) Traité d'Analyse, tome II, Chapitre IX. 



