Demonstration dit théorème <!<■ Cauchy. 13 



(i2) ^^SS-S^-v-,,,'"^-^' (/=1,3,..,«), 



P=ly. = ti 



les séries des seconds membres étant convergentes dans certains cercles ayant 

 l'origine pour centre. Or on voit de suite, en conservant les notations du 

 n" 2, que les constantes B, d'ailleurs positives, se déterminent par les équations 

 de récurrence 



R (0 



-«_ fi= i,2,-..,n\[i= l,2,..»\ 



les y désignant les mêmes fonctions que plus haut, à cette différence près que 

 les C y ont été remplacées par les B. On en conclut, en rapprochant les 

 équations précédentes des formules (4)', que les constantes B sont plus grandes 

 que les constantes C de mêmes indices, et nous pouvons donc affirmer que les 

 séries (3)', et par suite aussi les séries (3), convergent clans le même champ 

 que les séries (12). 



Il serait d'ailleurs facile d'établir directement la convergence des séries 

 (12) satisfaisant aux équations (11); on y parviendrait en suivant une méthode 

 tout analogue à celle du n° 2, et on serait conduit, pour les séries (12), au 

 même champ de convergence que nous avons trouvé plus haut pour les séries 

 (3) et (3)'. Cependant, comme la réussite de notre méthode tient essentielle- 

 ment à la forme particulière du système (11), et qu'il nous semble assez diffi- 

 cile d'arriver par des considérations de ce genre à établir, dans le cas général, 

 l'existence des fonctions implicites, nous ne jugeons pas cette question assez 

 intéressante pour y insister davantage. 



