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Les surfaces ne présentent qu'une seule espèce de connexité. On défi- 

 nit l'ordre de cette connexité comme on définit, pour les espaces à trois di- 

 mensions, l'ordre de la connexité de première espèce. 



Le Théorème fondamental de M. Betti est le suivant: 



Si un espace à trois dimensions a une connexité de première espèce d'or- 

 dre {q + 1) et une connexité de seconde espèce d^ordre [p -\- \), il est néces- 

 saire et suffisant, pour le transformer en un espace simplement connexe, dy 

 faire d\m manière convenable p sections linéaires et q sections superficielles 

 simplement connexes. 



Ce théorème admis, soient X, F, Z, trois fonctions d' x, y, s, finies et 

 continues en tous les points d'un espace H dont la connexité de première 

 espèce est d'ordre (g' + 1) ; ces trois fonctions vérifient, en tous les points 

 de l'espace JS, les égalités 



dY dZ 



16j 



Quelle est la valeur de l'intégrale 



({Xdx + Ydy + Zdz) 



prise le long d'une courhe fermée l tracée dans l'espace E et parcourue dans 

 un sens déterminé? 



Pour réduire la connexité de première espèce de l'espace E à être du 

 premier ordre, il suffit de tracer dans cet espace q surfaces simplement con- 

 nexes. Soit Si, Sa, . . . s, un tel système de surfaces. Nous admettrons que 

 chacune de ces surfaces a deux côtés que nous nommerons face positive et 

 face négative. 



Supposons que la ligne l rencontre n^ fois la surface Si en passant de 

 la face négative à la face positive et n\ fois la même surface en passant de 

 la face positive, à la face négative; qu'elle remontre Wg fois la surface S2 en 

 passant de la face négative à la face positive et n\ fois la même surface en passant 

 de la face positive à la face négative, etc. . . . Désignons par Hi, H2, . . . Hq, q 

 constantes qui sont indépendantes de la forme de la ligne / et dépendent seule- 



