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ment de la forme des toiictions X, Y, Z et de la nature des connexions de 

 l'espace JE. 



L'intégrale 



Ç{Xdx + Ydy + Zds) 



mira pour valeur 



(,/, - n\) //, + {u, - »',) m + ...+ (», - «',) //„. 



Telle est l'importante proposition que nous emprunterons à M. Betti ; nous 

 allons eu déduire une conséquence qui nous sera d'un grand usage par la 

 suite. 



L'espace compris entre la surface d'un tore et la surface d'une sphère 

 de très grand rayon enfermant ce tore à son intérieur est un espace dont la 

 connexité de première espèce est du second ordre. En déformant ce tore d'une 

 manière continue, nous obtiendrons la forme la plus générale d'un canal fermé 

 et privé de dérivations. Or, dans cette déformation continue, le mode de con- 

 nexité de l'espace considéré ne varie pas. Donc, lorsqu'à l'intérieur d'une 

 sphère de très grand rayon on trace un canal fermé sans embranchements 

 ni dérivations, on obtient un espace clos dont la connexité de première espèce 

 est du second ordre. 



Nous allons^ en supposant le canal infiniment délié, déterminer la forme 

 générale des quantités X, Y, Z qui, à l'intérieur d'un semblable espace, véri- 

 fient les conditions (16). 



La connexité de première espèce de l'espace considéré étant du second 

 ordre, il suffit, pour réduire cette connexité au premier ordre, de tracer dans 

 l'espace considéré une surface s simplement connexe. Si nous supposons le 

 canal infiniment délié réduit à une ligne fermée X, la surface s dont il s'agit 

 aura pour contour la ligne L. 



Du point M de la ligne l, sur une sphère de rayon 1, faisons la per- 

 spective de la surface s ; comptons négativement les parties de cette perspec- 

 tive qui correspondent aux points oii le rayon vecteur issu de M rencontre la 

 surface s en passant de la face négative à la face positive ; comptons positi- 

 vement les parties de cette perspective qui correspondent aux points où le 

 rayon vecteur issu de M rencontre la surface s en passant de la face positive 

 à la face négative. Soit o la somme des aires ainsi comptées ; oj est Vangle 

 sous lequel, dit point il/, on voit la face positive de la surface s. 



Lorsque le point M varie d'une manière continue sur la ligne /, rj varie 

 en général d'une manière continue, à moins que le point il/ ne vienne à tra- 



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