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P. D ü H E M. 



verser la surface s. Dans ce cas, au moment du passage, oj croît de 4jr si 

 le point M passe du côté négatif au côté positif de la surface s; il diminue 

 au contraire de in si le point M passe du côté positif au côté négatif de la 

 surface s. On a donc, en gardant h n et à n' la même signification que dans 

 la proposition de M. Betti : 



J 



'dro , 



^ dl = in{;H-n), 



/(- 



l'intégrale s'étendant à toute la courbe l. 



D'autre part, d'après le Théorème de M. Betti, ou a: 



ÙXdx + Ydij + Zds) = (h - u') //, 



l'intégrale s'étendant à la même courbe /. 



Donc, pour toute courbe fermée tracée dans l'espace considéré, on a: 

 Hdœ\ 



Mais on sait que si l'intégrale 



f 



X 





0. 



ÇUdx + i]dy + |f?. 



prise le long d'une courbe fermée quelconque tracée dans un certain espace 

 est égale à 0, |, ij, ^ sont les trois dérivées partielles d'une même fonction 

 des coordonnées, finie, continue et uniforme en tous les points de cet espace. 

 On voit donc que si X, Z, Z, vérifient les égalités (16) en tous les 

 points d'un espace semblable à celui que nous avons défini, on a: 



17) 



_ H da âU 



" in dx dx ' 



4ä dy 



dU 

 ày ' 



1£ diO dU 



An dz dz 



U étant une fonction de x, y, ^, qui est finie, continue et uniforme en tous 

 les points de l'espace, sauf peut être sur la ligne L] ces égalités peuvent en- 

 core s'écrire: 



