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f/, V, W étant trois fonctions des coordonnées x, >/, 2, de l'élément -ås ^\\\\ 

 vérifient les conditions (30). Il en résulte, d'après l'égalité (20,,,,) obtenue à 

 la fin du Chapitre précédent, que l'on a: 



J 



,, H r ,, d^^dx o'-W di) dWd2 



ç;dl = — J dl + 1 '- -] 



■iirJ àx ds ùy ds ds ds 



J étant défini par l'égalité (18) et ?/' étant une fonction finie, continue et 

 uniforme d' x, 1/, 2, coordonnées d'un point de l'élément ds. 

 Cette égalité peut encore s'écrire : 



Soit ?/^ la valeur de i?/^ en un point quelconque 31, et S/.' sa valeur en un 

 point M. Posons : 



''=/(^'-S)- 



■Vo 



Nous aurons: 



D'après sa définition, u est une fonction uniforme des coordonnés x, y, z d'un 



point de l'élément ds, des coordonnées ./:', ?/', z', d'un point de l'élément dl. 



^ , dx du/ dz 



et de — , -^^ , 



dl ' dl ' dl 



On voit alors que l'on a : 



nil'J du dx du dl/ du dz A ji _ r. 

 J \43t. dx ds ôy ds dz ds " 1 



l'intégration s'étendant à une courbe fermée quelconque. Si donc on désigne 

 par i?/ une fonction finie, continue, uniforme de x', y', z', fonction qui peut 



dépendre en outre de x, ij, z et de -^ , -:^ , ~ , on parviendra au résultat 



ds ds ds 



suivant: 



HJ du dx du dy du dz 

 ■'^^ ^^J:t^¥xds^ dy ds "^ dz ds 



rjg/ dx <m dy dm dz' 

 ^dx' 'dl '^ dy' '^ ^ d/ ~dï ' 



