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Ce résultat est général. 



Limitons nous maintenant au cas particulier des courants fermés et uni- 

 formes et nous allons voir que ^ va être déterminé. 



Tout d'abord, nous pouvons dans ce cas barrer les termes 



du dx du (h/ du cis 

 fXc cls dy ils ds ds ' 



et écrire simi)lement 



„_HJ dtll dx d^ldy' dm dz 



^^'"'' ' ~ 4.^ "^ f;7 li^diïlû^ 'dz di ' 



?/ peut dépendre, avons nous dit, de 



X, y , £ , 



f I t 



X, î/, s, 



do: dy ds 



ds ' ds ds 



Mais JT ds devant être un infiniment petit de l'ordre de l'aire enveloppée par 



le courant, lorsque l'intégrale dont il s'agit est étendue à un courant infini- 

 ment petit, il résulte d'une démonstration déjà mentionnée de M. Bertrand que 



clûc 0.11 âz 

 s est une fonction linéaire et homogène de — , —, — . Comme il en est de 



ds ds ds 



« ^ -^^ -, 1 -. .. , - , à"^^ ^'^f ^^l 

 même de — . il doit en être de même de — ^,, -,, ,• et ])ar conséquent 



\it dx dy dz 



de 5/, ?/ lie pouvant différer d'une fonction linéaire et homogène de -, ^, — 



ds ds ds 



que i)ar des termes indépendants de a', y', s', qui peuvent être supprimés. 



Mais ?/ ne peut dépendre de x , y, z. -^, -^, '^*, que par l'intermédi- 



ds ds ds 



aire des quantités r, , - . Si l'on observe en outre que ^Y ne iieut dé- 

 fis ds dl 



1 , d.i' dy' dz' . ,. , . . 



pendre de ,, , -57 , ^7 , ou verra sans peine que Ion doit avoir: 

 dl dl dl 



ds 

 / étant une fonction finie, continue et uniforme de r. 



