Généralités. 



1. Soit dans le plan de la variable complexe x une aire T à connexion 

 simple, et soit /'(.r) une fonction analytique de x régulière dans le voisinage 

 de tout point pris à l'intérieiu' de T. D'après un théorème fondamental dû à 

 RiKMANN et dont M. Schwakz a fourni la démonstration rigoureuse, il existe, 

 sous des conditions très générales relatives au contour de l'aire T, une fonction 

 analytique t = cp (ce), qui l'éalise la repi'ésentation conforme de cette aii'e sur le 

 cercle |^l5^i, en sorte qu'à trois points donnés, pris à l'intérieur ou sur le 

 contour de l'aire T, correspondent trois points donnés à l'intérieur ou sur la 

 circonférence du cercle. D'après l'idée même de la représentation conforme, 

 cette fonction (f (j:) est régulière à l'intérieur de T et, par la même raison, la 

 fonction inverse x = 4' (0 ^st régulière à l'intérieur du cercle [ i! | < i . Si nous 

 désignons par f^ l'affixe d'un point quelconque compris dans ce cercle et par 

 Xi l'affixe du point correspondant de l'aii'e 2', nous aurons donc 



x-xi^ «1 {t - t,) + «2 (< - fif + ■■■, 



la série du second membre étant convergente tant que le module [ ^ — ^i | reste 

 suffisamment petit. D'autre part, comme la fonction f(;x), d'après l'hypothèse, 

 est régulière au point .'i, nous aurons dans le voisinage de ce point 



/■(.t) = ß, + ß,ix- X,) + ßA^- ^lf + • 



En substituant dans cette série à x — x^ l'expression ci-dessus, on trouve pour 

 /' (x) un développement suivant les puissances entières et positives de t — t^, 

 convei'gent tant que le module de cette quantité ne dépasse pas une certaine 

 limite. Donc, par la substitution x = ii) {(), la fonction f(x) sera transformée 

 en une fonction de t: 



