4 Ernst Lindelöf. T. XXIV. 



qui sera régulière pour tout point compris dans l'intérieur du cercle \t\<i , et 

 qu'on pourra par suite représenter, dans ce cercle, par une série procédant 

 suivant les puissances entières et positives de t. 



II est facile de former effectivement cette série. Soit, en effet, a'o le point 

 de l'aire T correspondant à ^ = o , et soit, dans le voisinage de ce point, 



f{x) — Qo + ai {x - a-o) + «2 (-*-■ - ^o)^ + aA^ ~ ^of "1 



Soit d'autre part, dans le voisinage du point t — o, 



X — Xo=^bit + b2f + hf ^ . 



Par la combinaison de ces deux égalités il résulte 



(1) F{t) = Co + Cit + czf + c,e+--- , 



série facile à forr<ier puisque ses coefticients sont des polynômes par rapport 

 aux coefficients a et b; ainsi on aura 



2 3 



Co = flo ; Cl = ai 6, ; c-z = a^b^ + azb",; C3 — Ui b^ + 2 a^bi b^ + Uib^ ; 



La série (1) est certainement convergente pour les valeurs suffisamment petites 

 de \t\. Or, nous avons démontré ci-dessus que la fonction F (t) est régulière 

 tant que ] ^ | < 1 • Nous pouvons donc affirmer, d'après un théorème fondamen- 

 tal dû à Oauchy, que la série (1) est convergente dans tout le cercle \t\<i 

 et qu'elle est, par suite, identique à la série dont nous avons démontré ci- 

 dessus l'existence. 



En faisant dans l'équation (1) la substitution t = (p(x), nous aurons donc 

 ce résultat que la fonction f(x) est représentée, pour tout point compris dans 

 ^intérieur de Vaire T, par la série 



fU) = Co + ''l y {X) + C2 Vi- {X)f -t- C3 {(f {x)f + 



C'est le principe général que nous avions en vue et dont nous nous pro- 

 posons de développer les conséquences, surtout au point de vue du calcul effec- 

 tif des valeurs d'une fonction. Nous indiquerons dès maintenant deux ordres 

 de questions auxquelles s'applique directement ce principe. 



Supposons d'abord qu'une fonction soit définie par son développement de 

 Taylor, p. ex. dans le voisinage de l'origine, et qu'on connaisse les points 

 singuliers de cette fonction, cas qui se présente p. ex. lorsque la fonction sa- 

 tisfait à une équation différentielle linéaire. Pour calculer la valeur de cette 



