N:o 7. Sur un principe de la théorie des fonctions. 5 



fonction en un point P situé en dehors du cercle de convergence du dévelop- 

 pement de Taylor, ou même sur ce cercle, on doit former une expression ana- 

 lytique qui représente la fonction dans une région du plan comprenant à l'in- 

 térieur le point P. Or, la méthode du prolongement analytique par des cercles 

 successifs, à laquelle on a généralement recours dans les questions théoriques, 

 est, l'on en conviendra sans doute, pour la plupart sans aucune utiUté pratique. 

 Nous ferons voir qu'on pourra, au contraii'e, dans bien des cas assez facile- 

 ment résoudre le problème en invoquant le principe général établi ci-dessus. 

 11 n'y a qu'à choisir une aire T comprenant l'origine et le point P, dans 

 laquelle la fonction donnée est régulière et qu'on sait représenter d'une manière 

 conforme siu" le cercle | ^ j ^ i , en sorte que les points o des deux plans se 

 correspondent. Après avoir déterminé la substitution qui réalise cette représen- 

 tation, on formera la série (i) comme il a été dit. Pour augmenter la con- 

 vergence de la série, on doit chercher à donner à l'aire T la plus grande 

 étendue possible. Le degré de convergence, en effet, s'accroîtra en général 

 en même temps que le degré de „condensation" de la représentation conforme. 

 Nous en donnerons dans la suite plusieiu's exemples. 



Supposons, d'autre part, qu'on se donne une série entière convergente 

 dans un cercle de rayon fini, sans rien connaître sur la fonction analytique 

 qu'elle définit, l'our étudier les propriétés de cette fonction et pour calculer ses 

 valeurs en dehors du cercle de convergence ou sur la circonférence de ce cercle, 

 on pourra encore profiter du principe mentionné, lequel sera dans la plupart des 

 cas à préférer à la méthode ordinaire de prolongement analytique. Nous ver- 

 rons, en particulier, que ce principe fournit des moyens relativement simples 

 pour la recherche des points singuliers. 



Quelques conséquences du principe général qui nous occupe, ont fait l'objet 

 de recherches antérieures; nous citerons à cet égard les travaux de MM. Ham- 

 burger, PoiNCARÉ, Picard et Mittag-Leffler siu' la représentation des intégra- 

 les des équations différentielles, sur lesquels nous aurons encore à revenir. 

 Mais il y en a d'autres conséquences plus immédiates lesquelles, à ce qu'il 

 paraît, n'ont pas été remarquées jusqu'ici, et quant au principe même, nous ne 

 l'avons nulle part trouvé énoncé directement et sous sa forme générale. Il nous 

 semble, cependant, que ce principe mériterait bien de trouver place dans les 

 éléments mêmes de la théorie des fonctions, notamment dans le chapitre con- 

 sacré au „prolongement analytique". 



Nous n'avons pas l'intention de présenter, dans ce qui suit, une théorie 

 complète; nous nous contenterons plutôt de traiter quelques exemples particu- 

 liers, quelques transformations caractéristiques, qui sont d'une utilité réelle pour 



