6 Ernst Lindelöf. T. XXIV. 



le calcul. Pour mieux fake ressortir cette utilité, nous donnerons à la lin de 

 cette étude quelques applications numériques. 



La transformation d'Enler et d'autres transformations analogues^). 



2. Dans le plan de la variable complexe x traçons une droite indéfinie per- 

 pendiculaire à l'axe réel et coupant cet axe au point ^*' = ^ , « désignant une 

 quantité réelle et positive. En faisant 



(2) X — 7-r— , , t , 



on arrive à représenter la portion T du plan x , située à gauche de cette droite, 

 d'une manière conforme sur le cercle | i | < i , en sorte qu'aux points x = o , 



ce 



a; = - , et X' = 00 , correspondent respectivement les points t = o , t — i, et< = — i. 



Soit maintenant f(x) une fonction analytique définie dans le voisinage de 

 l'origine par la série entière 



(3) fix) = Oo +■ Ol X -t- 02 ■'■' + + o„ X" + , 



dont nous supposons, pour plus de simplicité, le rayon de convergence réduit à 

 l'unité. En faisant dans cette série x = -— — , et développant suivant les puis- 

 sances de t, on trouve 



CO 



(4) /■(i^-^)=«o+2|o„«''-(n-l)o„_i«"-i+^j\|-^a„_2«''^^^ 



Dans le cas où la fonction f{x) est régulière dans l'aire T, cette série sera 

 certainement convergente pour \t\<i , et f(x) sera représentée, pour tout point 

 à l'intérieur de T, par le développement 



00 



(5) f{x) = Oo + Y {o„ «"- {n - 1) o„_, a"-' + ■■■ + {-ifa, a l (^^ 



') Les principaux résultats des numéros 2 et 3 ont fait l'objet d'une note de l'auteur, intitulée 

 Sur la transformation (VEuler et la détermination des points sinytdiers d'une fonction définie par 

 son développement de Taylor, insérée dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris (le 

 28 février 1898). 



