N:o 7. Sur un principe de h théorie des fonctions. ? 



Réciproquement, si la série (4) converge pour | ^ | < 1 , la fonction f (se) est 

 régulière pour tout i)oint compris dans l'aire T. Si, au contraire, le rayon de 

 convergence q de la série (4) est inférieur à l'unité, on en conclut que l'aire 

 T renferme des points singuliers de la fonction f{x), et l'on pourra évidem- 

 ment, dans certains cas, fixer la position de quelques-uns de ces points en cal- 

 culant les valeurs de q cori'espondant à différentes valeurs de « . Dans cette 

 hypothèse, la série (5) pourra encore représenter la fonction /' (x) dans certaines 

 régions extérieures au cercle de convergence de la série primitive (3). 

 Considérons en particulier le cas « — i ; la transformation (2) s'écrit 



(6) X — — -~ , t = , 



^ ^ i+t i — x ' 



et la série transformée (5) devient 



(7) M = «0 + I {a„ -in- !).„-. + (^:i^i^ a„_3- • • ■ ■ + (- l)"-'a ,} (^)"- 



«=1 



C'est la transformation (VEiiler, dont on s'est beaucoup servi pour augmenter 

 la convergence des séries, toutefois, il nous semble, sans se rendre compte de 

 la raison théorique qui assure le succès de la méthode '). 



Notons encore le cas « = 2 ; la transformation (2) s'écrit 



(8) X - -— - , t = 



i+t' 2-z' 



et l'aire T comprend le demi-plan situé à gauche de la droite perpendiculaire 

 à l'axe réel et passant par le point x = i . Daiis les cas où la fonction f(.c) 

 est régulière dans toute cette jjortion du plan, la transformation précédente 

 fournit une série assez convergente et doit être préférée à la transformation 

 d'Euler. Ainsi, aux valeurs 



37= -y, -1,-2,-3, 

 correspondent, dans la transformation d'Euler, les valeurs suivantes de t: 



t= -^ --1 -— -^ 

 3 ' 2 ' 3 ' 4 ' 



') Voir: Beetrand: Calcul différentiel, p. 253. Tisserand: Traité de Mécanique Céleste, T. I, 

 p. 290. 



