â Ernst LindelÖf. - T. XXIV. 



tandis que, d'après la transformation (8), on aura, pour les mêmes valeurs de x, 



._ _J_ _± _i^ _3^ 

 '■ ~ 5 ' 3 ' 2 ' 5 ■ 



Comme exemple, appliquons la transformation (8) à la série 



A^)=- + ^ + f+ + ^+ 



Le coefficient de t" sera, d'après l'équation (4), 



i|.._„..-.+ '^^o,--...+(-,)-....}=i{(2-,)--(-.r}=i{.-(-.rj, 



et la série transformée s'écrira donc 



f{T+t}-'Y + J + J+ /• 



Cette série étant convergente pour j ^ | < 1 , on en conclut immédiatement que 

 f{x), ou bien que log (1 — 33) est fonction régulière dans toute la portion du 

 plan à gauche de la perpendiculaire à l'axe réel au point x= i . L'équation 

 précédente, d'ailleurs, n'est autre chose que la formule bien connue 



dont on s'est tant de fois servi pour les calculs numériques. 



Voici un autre exemple assez instructif bien que très élémentaire. Soit 



f{x) = 1 - a;2 + 35* - rc« + , 



et appliquons à cette série la transformation d'Euler. En comparant les coef- 

 ficients de la série transformée, donnés par l'équation (7), aux développements 

 des expressions 



(1 + 0"~^ = (/^""^ |cos (m - 1) y + ?■ sin (m- 1) yi , 

 on trouve facilement que le coefficient c„ de la puissance t" sera égal à 



(i/T)"-^ o, -(i/T)"-', (/T)"-\ -(i/T)"-; o, (i/T)"-^ ou -(i/T)"-\ 



suivant que l'index n est de la forme 



8m, 8 m + l, 8 m + 2, 8 m + 3, 8 m + 4, 8 m + 5, 8 »» + 6 ou 8 m + 7- 



