N:o 7. Sur un principe de la théorie des foneliov.t. 9 



La séiie transformée commencera donc par les termes 

 (9)- yc„t" = i-t-+2t''~2t'-\-4t''-8t'+8t-- 



La quantité V \ c„ \ étant égale à o , (|/ 2 ) " ou (i'^ 2 ) « , suivant la va- 

 leur de V , et ayant par suite |/ 2 pour limite supérieure, le rayon de conver- 

 gence de la série (q) sera égal à -f=- . Or, au cercle U 1 ^ -,=— correspond, 



\i 2 1/2 



dans le plan des .r, un cercle C de ra3'on \' 2 ayant son centre au point 

 x = -i . En substituant dans la série (9) — — à t, nous aurons donc un pro- 

 longement analytique de la fonction f(x) valable dans ce cercle C. 



Pour déterminer les points singuliers situés sur la circonférence de ce 

 cercle, nous appliquerons à la série donnée la substitution (2), en donnant à 

 « une valeur positive plus petite que l'unité. Le coefficient de i" sera, suivant 

 la valeur de n, égal à 



H — 1 «—1 



+ « (1 + «^) ^ COS (h— 1) « ou + " (1 + "^) ^ si"^ (" — 1) ^^ 1 



l'angle m étant déterminé par la condition tangr,) = — , et le rayon de convergence 



1 " 

 de la série transformée sera donc égal à -, . En faisant dans cette série 



* l/ 1 + «2 



t = — — - , nous aurons un prolongement analytique de la série primitive, repré- 

 sentant la fonction f{x) dans le cercle C ayant pour diamètre le segment de 

 Taxe réel compris entre les points 



X = — (1/ 1 + «2 _ 1) et X— - — (1/ 1 -t- «2 + 1) . 



Or, les deux cercles C et C se coupent aux points x = + i; d'ailleurs, à cause 

 de l'iiypothèse « < i , l'arc de C qui est extérieur au cercle | a; [ = 1 , est com- 

 pris tout entier dans le cercle C. On en conclut que x = + i et x= — i sont 

 les seuls points singuliers situés sur la circonférence du cercle C. Comme 

 d'ailleurs, lorsque a décroit vers zéro, le cercle C s'élargit indéfiniment, en 

 passant toujours par les points x = i et x= — i, nous pouvons affirmer que la 

 fonction considérée est régulière dans toute la portion du plan située à gauche 

 de l'axe imaginaire. 



3. Les transformations du numéro précédent conduisent à présenter sous 

 une forme assez nette la condition que doivent remplir les coefficients d'une 



