lo Ernst Lindelöp. T. XXIV. 



série entière, pour qu'un point donné de son cercle de convergence soit un 

 point singulier. Reprenons, en effet, la série (3), en supposant toujours son 

 rayon de convergence égal à l'unité, et appliquons y la transformation d'Euler. 

 Le cercle de convergence | a; | = 1 sera transformé en une droite parallèle à 

 l'axe imaginaire et passant par le point t— — ~. D'autre part, à la circonférence 

 1^1=-^ correspondra, dans le plan de la variable x , une circonférence ayant 

 pour diamètre le segment — 1 h ^ de l'axe réel et étant, par suite, tan- 

 gente intérieurement au cercle de convergence de la série (3). Donc, si a;= — 1 

 est pour f(x) un point singulier, le rayon de convergence de la série trans- 

 formée (7) sera égal À ^; si, au contraire, la fonction f(;x) est régulière au 

 point X— — \ , ce rayon sera supérieur à o , puisque alors /" {x) est régulière en 

 tout point de la circonférence | ^ j = |^ . 



On peut présenter la condition cherchée sous une forme plus générale en se 

 servant de la transformation (2) . En effet, cette transformation fait correspondre 



au point x— — \ le point t= r- , et d'autre part à la circonférence U 1 = , — , 



^ ^ a-\-l ' «^ Il a-\-l ' 



une circonférence dans le plan des x , ayant pour diamètre le segment 



— 1 ^^~^ ^^ Vaxe réel. Il s'ensuit immédiatement que x=— 1 est, pour 



la fonction f{x), un point singulier ou régulier, suivant que le rayon de con- 

 vergence de la série (4) est égal à ou plus grand que —7— , « ayant d'ailleurs 



une valeur positive quelconque. 



S'il s'agit d'un autre point situé sur le cercle de convergence de la 

 série (3), soit Xg^e^", il suffit de poser x - e^''~'^^'^ 2 , pour que les règles pré- 

 cédentes soient applicables. Pour le point .r = 1 , en particulier, nous pouvons 

 énoncer le résultat sous la forme suivante, en invoquant un théorème bien connu, 

 précisé par M. Hadamard ^), concernant la grandeur du rayon de convergence 

 d'une série: 



Pour que x = 1 soit un point singulier pour la fonction définie par la 

 série 



f{x) — Qo + ai X + Uzcc^ + + a,,x" , 



dont le rayon de convergence est supposé égal à Ihmité^ il faut et il suffit 

 qii'on ait pour une infinité de valeurs de n, t désignant une quantité positive 

 aussi petite qiion voudra, 



^ , / N (m — 1) (m — 2) , , I " / X 



') E.isai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor, page 5 (Thèse, 

 Paris 1892). 



