N:o 7. Sur im principe de la théorie des fonctions. 11 



OU encore., sous une forme plus générale., 



1 



X 1 , (« — i) (« — 2) 

 o„«" -f («- 1) rt„_i«"-i + '^ r^r ^ ö,.-2«"— + ■ • • + ai a 



mod. 



1 • 2 



>(«+i)(l-*) 



a ayant une valeur positive quelconque. 



A l'aide de ce théorème on peut établir rapidement quelques-uns des ré- 

 sultats obtenus antérieurement par MM. Hadamard et Pabry. En voici un 

 exemple. Ecrivons le coefficient a„ sous la forme g„ e " , g„ désignant son mo- 

 dule, et supposons qu'on ait 



CCS («„ — «j,) ^ o , 



pour toutes les valeurs de n et de p supérieures à un entier positif k. Nous 

 ferons voir que, dans cette hypothèse, x = i est un point singulier poui" la 

 fonction /(.'•)• 



En eft'et, la série (3) étant, d'après l'hypothèse, divergente dès que \x\>i , 

 on peut trouver une suite illimitée de nombres entiers croissants, n^jn,, • ■ -jn^, ■ ■ -, 

 tels qu'on ait 



g„.>{i-i)"', 

 ê ayant la même signification que ci-dessus. Posons, poui' abréger, 



Cn = a„ + (H - 1) f(„_l + ^ ^^-^ fl„_2 + + «1 , 



et égalons à zéro les coefficients «i , ■ • • , «^ , ce qui n'a aucune influence sui" le 

 résultat. Nous trouverons 



I ^2».. f = fjL, + 2 (2h.- 1) ^,„. i/,„._iCos («,„.- «,,,._j) + h {Cll,_,r/„.f + •■-, 



^ { 2n.-i){2n.-2)---n. ^ _,_ _ (2«J ! 



et comme, d'après les hypothèses faites, tous les termes de cette expression sont 

 positifs ou nuls, il s'ensuit 



et, par suite, 



2«i 2«; 



i/h2,j >i/i_,.i/c;';;^_^ 



