12 Ernst Lindelöf. T. XXIV. 



Mais l'application de la formule de Stirling nous donne 



c.. = ^4 (■+©). 



2 • 



I — I désignant une quantité qui tend vers zéro lorsque «, augmente. Donc, la 



racine 2«,'""" du coefflcient binomial tendra vers 2 , et comme d'ailleurs l'' i — «> i — « , 

 on aura par suite, à partir d'une certaine valeur de i, 



2 II; 



1/|^2„1 >2(1-*). 



Le point x=i est donc bien un point singulier pour la fonction f{x), ce que 

 nous voulions établir. 



Voici une autre remarque siu' le sujet qui nous occupe. Mettons que les 

 coefficients de la série (3) soient réels et substituons à x l'expression e*^.^. 

 On trouve 



00 00 



/ (x) = 00+^ ö„ cos n(p • z" + i y a,, sin iicfi ■ z" . 

 1 1 



Pour que e'' soit pour /' (x) un point singulier, il faut que z = 1 soit point 

 singulier pour l'une des deux séries à coefficients réels qui figurent dans l'ex- 

 pression précédente. C'est ce qui arrive en particulier lorsque, à partir d'une 

 certaine valeur de n, «„coswy ou a„sinw<^ ne change pas de signe. On con- 

 çoit dès lors, que la seule succession des signes des coefficients a„ poui'ra quelquefois 

 révéler l'existence de certains points singuliers sur le cercle de convergence. 



Prenons comme exemple la série (9) du numéro précédent. La succession 

 des signes de ses coefficients présentant la période à huit termes 



(o) _ + _ (o) + - +, 



nous sommes amené à examiner de plus près les points du cercle de conver- 



2 ^ ., 



gence ayant pour argument un multiple de -q- . Or, pour ^ = ±4^, cos «y 



présente les signes suivants, en faisant successivement « = 1 , 2 , • • • , 8 , 



- (O) + - + (o) - +. 



Le produit a,,cos(+^^) étant, par suite, constamment positif ou nul, la série 

 dont il s'agit aura siu' son cercle de convergence deux points singuliers ayant 

 resp. pour arguments + -^ ^ et — j sr , ce qui est d'ailleurs facile à vérifier. 



