N:o 7. Sur un principe de la théorie des fonctions. 13 



La transformation x—\. — , 



4. Tra(;ons dans le plan de la variable complexe x, en partant du point 



a; = 1 , deux demi-di-oites formant avec l'axe réel négatif les angles n . - et —/;. — . 



L'aire S en forme de secteur infini comprise entre ces droites et contenant à 

 l'intérieui' l'origine des coordonnées, est représentée d'une manière conforme 

 sur le cercle \t\<,i par la substitution 



(lO) 



1 -\-\/ \ — x 



Dans cette représentation, les points a; = o et ^ = o , ainsi que les points x=i 

 et < = 1 se correspondent mutuellement ; poiu' x = ao on aura t = — \ ; aux 

 droites passant par le point ic = i , et aux cercles ayant ce point pour centre il 

 correspond, dans le plan des t , deux familles de cercles, les cercles de la pre- 

 mière famille passant par les points t=\ et ^ = — i et étant coupés ortliogo- 

 nalement par ceux de la seconde famille ; en particulier, la circonférence | x — 1 1 = i 

 correspondra à l'axe imaginaire du plan t. 



Dans la substitution (lo) n peut avoir une valeur positive quelconque. 

 Lorsque w > 2 , le secteur S couvrira le plan x plus d'une fois. Pour être 

 plus clair et pour faciliter le langage, nous ferons dès à présent les conven- 

 tions suivantes. Les fonctions auxquelles nous aurons affaire, seront en géné- 

 ral définies par leur développement dans le voisinage du point a; = o, et admet- 

 teront x—\ comme point singulier. Nous appellerons „plan principal" le 

 plan comprenant ce point x- = o , rendu simplement connexe par la coupui-e 

 1 h 00 suivant l'axe réel. Le plan principal se compose de deux demi- 

 plans, Pj et Pi', situés le premier au-dessus, le second au-dessous de l'axe 

 réel. De P^ on viendra en traversant la coupure dans un nouveau demi-plan 

 P,, puis, en tournant toujours dans le sens indirect autour du point x=\, 

 dans les demi-plans P3, P4, etc. De même nous désignerons par P',, P3, P'i, 

 etc. les demi-plans qu'on rencontre successivement en partant d'un point de P{ 

 et cheminant le long d'une courbe tournant dans le sens direct autoiu' du 

 point x—\. 



Dans ce qui suit nous aurons à en\1sager en particulier les cas suivants 

 de la transformation (10): 



