14 Eenst Lindelöf. T. XXIV. 



w = 1 . La transformation s'écrit 



- ^^ _ ^ 



et le secteur S comprend le demi-plan du côté gauche de la perpendiculaire à 

 l'axe réel au point :c = i . Nous avons déjà rencontre cette transformation 

 parmi les généralisations de la transformation d'Euler. 

 n = 2 . On aura la transformation suivante : 



, 1 - t\^- 4< 

 X = i - l —r-. 1 - -~r-:2 > 



(H) 



i-j/i-a; 

 1 + l/ l-x 



et l'aire S sera formée du plan principal entier, limité par les deux bords de 



la coupure i oo . 



w = 4 . La transformation correspondante s'écrit 



/1- A^ 8<(1 \-f) 

 X — l — ' ' — — 5^ — -- '- 



,,.^ ^' + ^1 (1 + 0* 



r- 



1 - 1/ 1 - , 



1 +1/ \-x 



L'aire S est, dans ce cas, une suiface de Riemann à deux feuillets, ayant x = i 



comme point de ramitication et étant limitée par les deux segments i oo 



de l'axe réel, compris respectivement dans les demi-plans P, et P!,. 



En général, pour n — 2m, m désignant un entier plus grand que i , l'aire 

 8 est une surface de Riemann à m feuillets ayant x = i comme point de ra- 

 mification. 



On conçoit facilement le parti qu'on pourra tirer des substitutions précé- 

 dentes pour le calcul des valeurs d'une fonction. Non seulement qu'elles fournis- 

 sent souvent des expressions analytiques représentant la fonction donnée dans 

 des domaines étendus, mais elles permettent encore d'augmenter considérable- 

 ment la convergence dans le cercle où converge la série primitive. 



Ainsi, si la fonction /'(«), définie par la série (3), n'a dans le plan prin- 

 cipal de points singuliers que sur la partie 1 00 de l'axe réel, la trans- 

 formation (11) nous donne une série représentant la fonction pour tout point in- 

 térieur du plan principal et qui est, dans le cercle | a; | < 1 , beaucoup plus con- 

 vergente que la série (3). 



