K:o 7. Sur un principe de la théorie des fonctions. 15 



Dans les cas où la fonction f{x) n"a, dans le plan principal, d'autres 

 points singuliers que x=\ , et que cette fonction est encore régulière pour tout 

 point compris dans l'intérieur des demi-plans P^ et Pj , l'application de la trans- 

 formation (12) conduit à une série encore bien plus convergente que celle four- 

 nie par la transformation (ii), et qui représente la fonction f(x) dans la sur- 

 face à deux feuillets décrite ci-dessus. 



Sous titre d'exemple, appliquons la transformation (lo) à la série 



y = a; + - + ^ + ■ ■ ■ • + ~ + ■ ■ ■ = - logil - x) , 



en nous servant cette fois de la relation 



dy ^ 1 

 dx l — X 



Par la-dite transformation celle-ci devient 



dii 2 n 



dt-x_e' 

 et on en tire, en développant et en intégrant. 



?/ = 2M« + 3 + ^ + 



Cette série étant convergente pour ^ < i , nous pouvons affirmer qu'on aura, 

 pour tout point à l'intérieur du secteur S défini au début de ce numéro, 



/ t^ i" 

 log (1 -a:) = - 2 H (^/ + ^ + - + 



ou 



t= LiL^-z^ 



1 + l/ 1 - a; 



Comme d'ailleurs le nombre des feuillets dont se compose l'aire S, croît indé- 

 finiment en même temps que le nombre w, la formule précédente nous apprend 

 directement que log (i —x) a x=-\ pour seul point singulier à distance finie. 



Soient maintenant x^ et x[ les affixes de deux points appartenant respec- 

 tivement aux demi-plans Pi et Pi' mais occupant le même lieu géométrique sur 

 l'axe réel positif, à la distance 9 (> i) de l'origine. Les valeurs de la va- 

 riable / correspondant à x^ et a:;(, seront 



