16 Ernst LindelÖf. T. xxiv. 



« TT» 



1 - l/ e • e » , , 1 - l/ Ç • e " 

 ti = ^^ . et / = = , • 



1 + |/ Ç • e- " 1 + l/ Ç • e » 



Cela posé, formons la différence entre les valeurs de la fonction log {\ — x) aux 

 points x[ et x-^^; nous trouvons 



(13) log(l-a;;)-log(l-a;,) = 2i 



/i+| + ---)-(/:+|-+---)]=2«(^-/',)(i+f), 



f désignant une quantité qui tend vers zéro en même temps que /i et t[. On 

 a d'ailleurs 



n _, 



. / — . 5r 

 A.IV Q • sin — 



» 1 ,, 



1 + 2 l/ • COS h l/ e^ 



« 



et comme, lorsque n augmente / q tend vers i et t vers o , on en conclut que 



la différence (13) tendra vers 2sti. Donc la fonction log(i — a;) s'accroît de 



2 sr i , lorsqu'on la prolonge le long d'une courbe faisant un tour en sens direct 



autour du point a; — 1 . 



On pourrait encore d'une autre manière faire apparaître le nombre 2 3ri. 



Faisons, en effet, dans la formule (13) m = 2, et écrivons les quantités t^ et t\, 



dont le module est dans ce cas égal à un, sous la forme 



(pi , -ipi 



Nous trouvons 



log {\ — x'^ — log (1 — a;,) = 8 ? (sin y + q- sin 3 y + — sin 5 y + • ■ • 



La série en parenthèses ayant pour somme — , la différence ci-dessus est bien 



égale à 2sti. 



Les applications que nous donnerons à la fin de cette étude, feront bien 

 ressortir l'avantage qu'on peut tirer de la transformation (10) pour les calculs 

 numériques. C'est ce qu'on peut d'ailleurs présumer à Tinspection même du 

 tableau suivant donnant quelques valeure correspondantes des variables x ^i t : 



