18 Ernst Lindelöf. T. XXIV. 



le plan des t. En particulier, le plan principal, limité par les deux bords de 



la coupure i go, sera représenté sur une bande de largeur 2 w symétrique 



par rapport à l'axe réel. Ije point x=-i est rejeté à l'infini dans la direc- 

 tion de l'axe réel positif. 



Si la fonction f (x) définie dans le voisinage de l'origine par la série (3) , 

 a a; = 1 pour seul point singulier à distance finie, cette série sera transformée, 

 par la substitution 



/2 ^3 fi 



X = 1 — C-' — t f-| , f+ , 



2! 3! 4! ' 



en une série toujours convergente, procédant suivant les puissances de 

 l'argument t= — \og(^\—x) et représentant la fonction donnée pour toutes 

 les valeurs de x. 



La transformation x 



i + <2 



6. Traçons dans le plan de la variable x les coupures + 1 1- i^^ et 



— 1 00 le long de l'axe réel, et etfectuons la transformation 



1 + r^ ' X 



L'aire simplement connexe T formée du plan entier, coupé comme nous venons 

 de le dire, sera représentée d'une manière conforme sur le cercle ! if j < 1 , en 

 sorte qu'aux points x=-\. , x = o , et x = —\ correspondent respectivement les 

 points t—\, t = o, et t = ~ \ . A l'axe imaginaire du plan x correspondra 



le segment —i [-i de l'axe imaginaire des t. Aux cercles passant par 



x = + i et ce = — 1 correspondent des cercles passant par ^ = + 1 et ^ = — 1 , 

 et par suite, les familles des cercles orthogonaux se correspondent également. 



Si la fonction f{x) définie par la série (3), dont nous supposons toujours 

 le rayon de convergence égal à l'unité, n'a aucun point singulier dans l'inté- 

 rieur de l'aire T, la transformation (15) nous donnera une série représentant 



D'autre part on aura, pour une iuiinité (te vateurs de /i et de v, 



\a^t'^\>\tdl-e)f et | &^ «^" | > | <,(l-0 |^ 



On en conclut facilement que le rapport des nombres de termes (y compris ceux dont les coefficients 

 sout nuls) dont il faut tenir compte resp. dans les séries B et A pour atteindre un certain degré d'ap- 

 proximation, tendra en général vers (i , lorsque le degré d'approximation augmente. La série A est 

 donc bien, en général, plus convergente que la série B, ce que nous voulions établir. 



