N:n 7. Sur un principe de la théorie des fonctions. 19 



la fonction pour tout point compris dans cette aire. D'ailleurs, dans le cercle 

 j ;c I < 1 , cette série est plus convergente que la série primitive (3). Ainsi, 

 pour 



113- 



on aura 



/ = 0.127, 0.268, 0.451, 0.414«:. 



11 existe d'ailleurs un rapport intéressant entre les transformations (10) et 

 (15). En etfet, en faisant d'abord 



puis 



2T 



on trouve 



(f 



'un 



— t\ 



X — l 



^f. 



Ainsi p. ex., au lieu d'etïectuer directement la transformation (12), on pourrait 



faire d'abord 'J^~^^,, puis appliquer deux fois de suite la transformation (15). 



1 -p t 



Quelques transformations plus compliquées. 



7. On poiUTait évidemment varier de différentes manières les transforma- 

 tions à employer. Connaissant les points singuliers de la fonction donnée, on 

 pourrait p. ex. former des surfaces de Riemann plus ou moins compliquées à 

 l'intérieur desquelles la fonction serait régulière ; en effectuant la représentation 

 conforme de ces surfaces sur l'aire d'un cercle, on serait conduit à des séries 

 représentant la fonction pour tout point de la surface considérée et dont la 

 convergence, en général, serait d'autant plus rapide, que le nombre des feuil- 

 lets dont se compose la surface, serait plus grand. Nous traiterons dans ce 

 numéro sous titre d'exemple quelques surfaces particulières. 



Admettons que la fonction f{x) n'a, dans le plan principal, d'autres points 

 singuliers que :i; = 1 , et qu'elle est encore régulière lorsqu'on la prolonge au- 

 tour de ce point, excepté pour x = o. En ajoutant à la surface à deux feuil- 



