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Ernst Lindelöf. T. XXIV. 



lets, composée du plan principal et des deux demi-plans adjacents P. et Po, 

 deux autres demi-plans, P3 et Pg, ayant connexion respectivement avec P. et 

 avec P'2 le long de l'axe réel négatif, depuis o à - go , on aura une 

 aire T simplement connexe à l'intérieur de laquelle la fonction f{x) est régu- 

 lière. Le contour de cette aire T se compose de l'axe réel plié sur lui-même 

 à diverses reprises. Pour parcourir ce contour dans le sens direct, on suivra 

 d'abord dans le demi-plan P3 l'axe réel depuis + oo cà o , on contournera l'ori- 

 gine par une petite circonférence, on décrira dans Po le segment — 1 de 

 l'axe réel, puis on fera deux fois le tour du point x = 1 en passant succes- 

 sivement de p.'. en Pî, Pi et Pj, dans ce dernier demi-plan on parcourra le 

 segment 1 — o de l'axe réel, ensuite on contournera encore une fois l'origine, 

 puis on finira, dans le demi-plan P3, en parcourant l'axe réel depuis o jusqu'à 

 -h 00. 



Nous allons d'abord représenter l'aire T sur la partie supérieure du plan 

 figurant la variable t, en sorte qu'aux points 



X— -\- <X) , O, 1, O, -1-00, 



rencontrés successivement en parcourant le contour de T, correspondent les points 



t— - ce , -a, o, +a, +GO, 



a désignant une quantité positive que nous déterminerons tout cà l'heure. Pour 



f/ doc 



trouver x en fonction de t, considérons avec M. Schwarz l'expression ^^ log ^ • 

 Ce sera, comme on sait, une fonction rationnelle de t n'ayant d'autres points 

 singuliers que a, -a et . Or, d'après la représentation conforme, les 

 points t- + a doivent être, pour ^, des zéros du premier ordre, et le point 

 t = o un zéro du troisième ordre. Par suite, on aura 



d dx _ 1 1 1 ^ . 



di ^^di ~ t+ a '^ t- a^ t 



Intégrant et déterminant les constantes en sorte que les valeurs t = o et .«=i, 

 ainsi que les valeurs ^ = a et x = o se correspondent, on trouve pour la fonc- 

 tion cherchée l'expression 



Le point x = o du plan principal correspond à la valeur ^ = -=-i. Faisons 

 donc a = i/T, puis effectuons la transformation linéaire 



