N:o 7. Sur un principe de la théorie des fonctions. 21 



i - : ^ -'^ V < , 1 + '' < . 



t ^ l • ; ) (I OU T ^= r- ; 



1 + f l - it ' 



nous aurons 



^ ' 4 VI + V 4 Vl + T;/ 



= 9 T - 42 t2 -f 139 t3 - 372 T* + 86i r5 - 1790 rs + 3423 t' , 



et par cette transformation la surface T se trouve représentée d'une manière 

 conforme sur le cercle [ t | ^ 1 , en sorte que les points x—-i et a; = o du 

 plan principal, et le point x = cc correspondent respectivement aux points 1 , 

 o et — 1 du plan de la variable t . 



Si, comme nous le supposions, la fonction f{.r) est régulière dans l'aire 

 T, la transformation (16) fournit une série qui la représente pour tout point de 

 cette aire et dont la convergence est très rapide. Ainsi, par exemple, pour 



a; = - 4 , - 27 , - 242 , 



on aiu'a 



1 1 



T=:— 0.172, , 



3 2 



Un pourrait aller plus loin dans le même ordre d'idées, en ajoutant p. ex. 

 à la surface T considérée ci-dessus deux nouveaux demi-plans, P4 et PI, ayant 



connexion respectivement avec P3 et P^ le long de la partie 1 f- ce de 



l'axe réel. La nouvelle surface serait représentée sur le cercle [ ^ 1 5^ 1 par la 

 substitution 



x= l ~ 4t^ - 4t^ - t^ , 



t = i/'7I-T ' ~ " 



i + r 



Mais on voit que les transformations deviennent de plus en plus compliquées, 

 tandis qu'on ne gagne presque rien en fait de convergence. 



Application à l'intégrale elliptique de première espèce. 



8. Considérons l'intégrale 



_ r-'' dx 



