22 Eenst Lindelöf. T. XXIV. 



en supposant le module k positif et inférieur à l'unité. C'est une fonction de 

 X, régulière pour tout point en dehors des coupures tracées le long de l'axe 

 réel depuis + i à + ce et depuis — i à — oo . On peut donc appliquer à 

 cette intégrale la transformation (15); on trouve ainsi 



et en développant le second membre suivant les puissances de t, puis substi- 

 tuant t — ^-^ ~-^ , on aurait une série représentant l'intégrale donnée pour 



se 



tout point à l'intérieur du plan limité par les coupures. 



Mais on arrive à un résultat plus intéressant en réduisant, dans le second 

 membre de la formule (17), la différentielle elliptique à la forme normale de 

 Legendre. Le polynôme sous le signe radical admet les zéros +k + ik', tous 

 situés sur le cercle | ^ j = 1 et groupés symétriquement par rapport aux axes 

 des coordonnées. Faisons donc 



i-t ,, . , «(1- ar) 

 — — = a T , d ou t = ^— , ; 



nous trouverons 



dt 2 aidr 



1/(1-1- fi)2 _ 4 /,.2 12 |/ 16 «2 t2 -^ 4 ^2 (1 - «2 ^2)2 



et les zéros seront devenus 



i \ /i — le i I /1-1- k' 



— a V l-\- k' — a V I— k' 



En posant 



,/131' ,_// 



« = '/7-7-7?' v-n? = 'n, 



l + k' 1+ k' 



on ramène donc la différentielle à la forme normale et l'on trouve, par un cal- 

 cul facile, 



dx 3 dt _ , , d^ _ 



\/{].-x'-){\-k^x^) ~ t/(i -\-t''Y-~V^ - - (1 -t- ti) ^__— ^— ^g-^ • 



Comme les valeurs r = o et x=-<x) se correspondent, on en tire 



r"^ dx^ , . r"" d^ ^ 



y ^JV^^WyïV^WW) ~ ^^ + '''X i/(i_^2)(i_a;^^2) * 



