N:o 7. Sur un principe de la théorie des fondions. 23 



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Mais, en posant z^-j— i il vient 



/t" X 



d X C' dz 



r"^ d_x r dz 



Nous aurons donc entin la formule suivante : 



dz ,. , , ^ r'^ <^* 



(iS) 



I 1/ (1 -z-^) (1 - /^^^•'') ^ '"e)„ 1/ (1 - t2) {l-h\ r^) ' 



^; et T étant liés par la l'clation 



Comme z = i pour t = i , il s'ensuit en particulier 



r^ dx^ _i_j\C^ f/a; 



a;2) 



C'est là la transformation de Landen de l'intégrale complète, et la formule 

 précédente (i8) est équivalente à la transformation générale de Landen ^). 



Quelques applications aux équations difTérentielles linéaires. 



9. Lorsque la fonction donnée satisfait à une équation différentielle li- 

 néaire, tous ses points singuliers sont connus et, par suite, les considérations 

 précédentes sont directement applicables. La formation des séries transformées 

 se simplifie même beaucoup dans ce cas, puisqu'on pourra effectuer la substitu- 

 tion de la nouvelle variable (t) dans l'équation différentielle elle-même. Si, en 

 particulier, cette équation est à coefficients rationnels, elle se transformera, par 

 l'une quelconque des substitutions considérées aux numéros 2,4,6 et 7 , en 

 une équation dont les coefficients sont également rationnels, et la série cher- 

 chée se développera facilement par la méthode des coefficients indéterminés. 



') Voir p. ex. Schellbach, Die Lehre von den Elliptischen Inteyralen und den Theta-FuncHo- 

 nen (Berlin 1864), page 81. 



