24 Eenst Lindelöf. T. xxn^ 



Comme premier exemple nous choisissons l'intégrale 



"=i^ 



Considérée comme fonction de li^ = x, cette intégrale vérifie l'équation de Le- 



GENDRE 



(20) 4^(^_,)^î'^ + 4(o:,_l)g+2, = o; 



ses points singuliers à distance finie sont donc x = o et a; = i (excepté le point 

 x = o du plan principal) et, par suite, nous pouvons appliquer l'une quelconque 

 des transformations rationnelles considérées plus haut, et en particulier les trans- 

 formations (il) et (12). Par la première, l'équation (20) devient 



(21) /(1-0 (1 + 0' J)| - (1 + {(' + 2 / - 1) I - (1 - ?/ = 0, 



et en développant l'intégrale holomorphe qui, pour t = o, se réduit à —, on 

 aurait pour K une série procédant suivant les puissances de l'argument 



1 — / 1 — ic 1 — Ä;' 



1 + 1/ 1 - .X' 1 + A;' 



L'équation (21) se ramène d'ailleurs facilement à la forme (20). Faisons, 

 en effet, d'abord 7/ = (1 +/)?<; nous aurons 



, / :2-. d~u , , „ ,2, du 

 ai-0^ + (i-3/)^^--/«=o. 



Puis substituons f = 'r; nous retrouvons l'équation de Legendre 



Il s'ensuit 



N d''u , , ^ dii 



4^(^-l)-^+4(2r-l)--h«=o. 



de 



J„l/(i 



ou 



et par suite, la relation ?/ = (i +/)« peut s'écrire 



