N:o 7. Sur un principe de la théorie des fonctions. 25 



dz , . , s r^ dz 



J i/(,_^2)(i__/,2^.) ^'+^'>\| 1/(1 



C'est encore la transformation de Landen. 



Appliquons maintenant à l'équation (20) la transformation (12) ; nous trouvons 

 '(i-H)(i-Ô$ + (i-3/-5/*-Ô 1-2(1-0^^ = 0. 

 En faisant ici y = (i +0"'') on aura Téquation 



laquelle se ramène, par la substitution <* = t, à réquation de Leljendke: 



. f/";' . , dr , 



4r(T-l)^^ + 4(2T-i)^^^ + r = o. 



On a d'ailleurs 



ï-\/ \-x \-\/ k' j ,4 



t = 7 = -= = ? ; T = / , 



en adoptant la notation de Weierstrass, et la relation entre y et v peut donc 

 s'écrire sous la forme: 



On constate facilement qu'on obtient cette transformation en effectuant deux 

 fois de suite la transformation de Landen. En développant le second membre, 

 on trouve 



A-=f(.+0"(. + (-')V + (i^)V + ('J-^)> + ...); 



c'est la série la plus convergente qu'on ait trouvée, par l'intermédiaire des fonc- 

 tions 6> de Jacobi, pour représenter l'intégrale K. 



On peut d'ailleurs appliquer la transformation (22) plusieurs fois de suite. 

 En posant successivement 



l_l/l_/,2 l_l/l_/i l_l/l_i4 



l = 4 J h = 4 ' h — 4 ' 



1 + 1/ l-lc^ l + V'l-l* 1 + l' 1 - It 



