26 Eenst Lindelöf. T. XXIV. 



on trouve à la limite pour K l'expression suivante extrêmement convergente: 



Considérons en second lieu l'équation différentielle 

 (23) ^(i-x)§ + [>'-(« + ^+i).r]|.-«^// = o, 



dont l'équation de Legendre est un cas particulier (« = (3 = - , ?'= 0' ^* 1^^ 

 admet comme intégrale la série hypergéométrique de Gauss 



En appliquant successivement à cette équation les transformations (6), (8), (ii) 

 et (12), nous allons trouver tout un nombre de formules intéressantes. 



Faisons d'abord ic = — — ; il vient 

 1 -7- 1 



?(i + 0'J^ + (i + 0[y-(« + ^-)'-i)']f -«iS2/ = o, 



équation qui se ramène par la substitution y = {} -^t)" z,t- - r , à la forme 



T (1 - T) ^ + [y - (« - ^ + r + 1 ) t-] ;^ - « (r - iS) ^ = o . 



On en tire la formule bien connue: 



(a) F(«,,3,y,r) = (l-xpF(«,y-/î,y,^ 



2 t 



Faisons en second lieu •^^ = ^37-/, l'équation (23) devient 

 (24) K i - (i + 0' ^ + ( i + [y + (y - 2 « - 2 /ï) < - 2 r ] ^ - 2 « /j «/ = o , 

 et en posant y = {}->(- ifs , f — t, )' = 2|3, 



