N:o 7. Sur un principe de la théorie des fonctions. 27 



d'où suit la relation: 



(f>) 



^(-'.=^.')=(~r^(T-^-^.[ïé,r) 



Appliquons maintenant à notre équation la substitution x = ,~^^., 



(1 + 0^ 



• L'é- 



quation transformée 



,2 



(25) til-i){l+tf J, + (l+()[r-\-2(Y~2a-2ß)t + ir-2)i^]^~4aß{l-t)y = 0, 



peut se réduire de deux manières différentes à la forme (23), soit en faisant 



y = (i +t)''"2, /3 = «+ ^ , ce qui nous donne 



Hi - -f^.i+ [y - U(( - Y + 2) I] ^ - 2a {2a - Y + \) z = o , 



et par suite la relation 



soit en substituant y = (i +tf"2, t^ = r, y = 2(3, d'où il suit 

 et partant la relation 



Cette dernière formule renferme comme cas particulier ia = i^— ) la transfor- 

 mation de Landen (19). Lorsque /3 + — = 2 (« — /J +— ), d'où /3 = ^^-^— .on 



peut l'appliquer deux fois de suite et on obtient ainsi, après une transformation 

 facile, la formule suivante, où ne figiu'e plus qu'un paramètre arbitraire: 



Pour a = - , en particulier, on retombe sur la formule (22) . 



