28 Ernst Lindelöf. T. XXIV. 



Par la substitution .t=i —(^7-), enfin, Téquation (23) devient 

 (26) t(l + t){l-i^)'^f+H+t)lYH+lt-({l+t''){2t+Sa + 8ß)]^~8aß{l-tfy = 0- 



En cherchant à ramener cette équation à la forme (23), par des substitu- 

 tions analogues k celles dont nous avons t'ait usage plus haut, on trouve que 

 cela n'est possible qu'en faisant 



\j« 



4« + i 4«+i 



substitution qui conduit in'écisément à la formule (e). 



Les formules (b), (c), (d) et (e) ne sont applicables que lorsque les para- 

 mètres a , ß , Y sont liés par certaines relations. Mais il est évident que, 

 quelles que soient les valeurs de ces paramètres, les équations (24), (25) et (26) 

 fournissent des séries représentant avec une convergence croissante la série 

 hypergéométrique. 



Les formules («), (t) et (d) ont été établies par GrAuss, qui se sert de la 

 substitution (11), sans indiquer par quelles considérations il y a été conduit'). 

 Les foi'mules (//) et (e) se trouvent annoncées dans le grand mémoire de Kum- 

 mer sur la série hypergéométrique "'). Nous ferons remarquer que toutes les 

 transformations de la série liypergéométrique trouvées par Kummek dans le cas 

 où deux des paramètres «, ß, y restent arbitraires (1. c. § 19), se déduisent 

 facilement en combinant les formules [b), (c) et (d) avec la. formule (a). Ainsi, 



en substituant dans la formule (c) à la place de x, réduisant le premier 



membre à l'aide de l'équation ((;) et posant y — a — ;-, = /^ , nous aurons la 

 formule 45 de Kummer: 



(/) F(a,ß,a+ß + ^,x)^( ^ T F (2a, a-ß + ' , « + ,'i + A , ^ , 



2 \i_|_|/i_a;/ 2 2 



') Disquisitioiics i/cncralcs circa seriem infinitam süconde partie (ouvrage posthume). 



Oeuvres complètes, tome III, pp. 224—225. Après avoir établi les transformations de la série hypergéo- 

 métrique valables pour des valeurs (luelconques des paramètres a, ß, y, Gauss aborde la dernière 

 partie de son mémoire, intitulée Çaaedam thcoremata specialia, dans les termes suivants: „Relationes 

 omnes quas hactenus eruimus eatenus sunt generalissimae, quod elemeuta a, ß, y nuUis circumscri- 

 buutur conditionibus. Praeterea autem plures alias invenimiis, quae couditiones speciales inter elementa 

 a, ß, y suppouuut; raulto vero plures sine dubio adhuc latent, easque ipsas quas hic trademus fortasse 

 ex altioribus principiis derivare in posterum licebit". 



^) Jotirnal de Çrelle, Tome 15, page 78 formule 52 et page 129 formule 13, 



