N:o 7. Sur un principe de la théorie des fonctions. 29 



OÙ 



, l/l— x— 1 



l/l— x+1 

 En appliquant encore une fois l'équation (a), nous trouvons 



Fi2a,a-(i{- l .a + ß+ l , I) = (l- 1)''" F (2a ,2ß , a + [i + ' 



2 ' ^ ' V ' ' ' ' ' ■ 2 <— l 



(^^^J-V(.„,.M+.+ i.i-V=~1 



en sorte que la formule (/) peut se mettre sous la forme suivante (Kummer, 

 formule 49): 



('/) 



Fic<,ti,cc + ß+ ^ , j) = F{2cc,2ti,a + ß+l-,~ ^^ ^ ) 



Cette formule très intéressante se trouve (railleurs dans le mémoire de Gauss 

 cité ci-dessus'). La valeur x — \ correspond à la valeur — de Targument 



,= l:^llL 



La série du second membre, étant convergente dès que ] ^ j < 1 , représente par 

 suite la fonction considérée dans un domaine comprenant le point singulier x=\ ,''^) 



') Page 227 formule [103]. Les réflexious de Gauss au sujet de cette formule (page 226) sout du 

 plus haut intérêt; elles sembleut prouver, en effet, qu'à cette époque (eu 1811) la notion d'une série 

 entière comme élément d'une fonction analytique ou, eu d'autres termes, la notion du prolongement 

 anali/tique lui était déjà familière. 



'-) Cette remar(|ue peut être généralisée comme il suit: 



Soit f{x) une fonction holomorphe au voisinage de l'origine et n'ayant à distance finie d'autres 

 points singuliers que x — et x=l. Si cette fonction est développable, dans le voisinage du point 



x = l , suivant les puissances entières et positives de \/ 1 — x ,n désignant l'un des nombres 2, 3, 4 ou 

 5 , on aura, en faisant a; = 1 — (1 — <) et développant suivant les puissances de t, une série entière en 



H 



t=l — |/ 1 — .(• , représentant la fonction donnée dans un domaine comprenant les points et 1. 



Lorsque « >■ 5 , la substitution précédente n'est plus applicable, parce que le point du plan t 

 correspondant à x—l n'est plus compris dans le cercle de convergence de la série transformée. Ou 

 pourra dans ces cas, et d'ailleurs dès que « > 2 , se servir de la substitution un peu moins simple 



x = l— K^ \ , d'où t = • 



1— <C08^^— / , „„„'-»T 



1 — COS U l—x 



n V 



Dans les conditions indiquées, la série transformée en t, résultant de cette substitution, sera convergente 



dans un cercle de rayon — ^ , cercle comprenant le point l = 1 qui correspond au point singulier x=l . 

 cos — 



n 



Lorsque « = 4 , les deux substitutions se confondent. 



