30 Ernst Lindelöp. T. XXIV. 



ce qui s'explique par le fait facile à constater que la fonction est dans 

 le cas actuel, où }' — k — ^='\, développable suivant les puissances entières et 

 positives de \/ T^^ = ^ (4^ — ^) . La valeur t = i coirespond au point x = o du demi- 

 plan 1*2 ou l'ô , comme on le voit immédiatement en se reportant à la correspondance 

 géométri(iue entre les plans des variables x et t. Dans le cas où a-\- ß<\ , 

 le second membre de la formule précédente fournit donc, pour t — i, la valeur- 

 de la fonction F{{i, ß, a + (i+ l, x) au point a; = o du demi-plan P-, ou -F^ . 



Nous avons un peu insisté sur l'exemple précédent parce qu'il met bien en 

 évidence le parti qu'on peut tirer de nos considérations générales et, en parti- 

 culier, des substitutions simples que nous avons plus spécialement étudiées. Ces 

 mêmes substitutions s'appliquent à toute équation différentielle linéaire dont les 

 points singuliers sont convenablement disposés, et on pourra en profiter, soit 

 pour effectuer l'extension analytique des intégrales en dehors du cercle de con- 

 vergence de leurs développements de Taylor, soit pour augmenter la conver- 

 gence de ces développements, soit enfin pour calculer les coefficients des rela- 

 tions linéaires entre les intégrales des systèmes fondamentaux relatifs aux divers 

 points singuliers, ou les coefficients des substitutions linéaires que subissent les 

 intégrales d'un même système fondamental par le passage autom* d'un point 

 singulier. 



Sur quelques recherches antérieures. 



10. Les recherches dont nous voulons parler, reposent sur certaines repré- 

 sentations conformes remarquables, que nous allons d'abord rappeler. 



Soit donnée, dans le plan de la variable x, une bande de largeur 2 h com- 

 prise entre deux droites parallèles à l'axe réel et symétriques par rapport à 

 cet axe. Par la transformation 



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2/î , 1 + t 



t= ^ ~^ 



SIX SIX ' 



e + e 



cette bande se trouve représentée d'une manière conforme sur le cercle \t\<,\ , 



