N:o 7. Sur un principe de la théorie des fonctions. 31 



en sorte qu'aux points x — cc, x = o et x = —cc coiTespondent respectivement 

 les points t=i , t = o et t = — i. 



Plus généralement, la bande comprise entre deux parallèles à l'axe réel 

 passant respectivement par les points o i et h i {a > b) de l'axe imaginaire, sera 

 représentée, par la substitution 



a-\- b . , a — h , l + < 

 x = -^., + -^log-~, 



d'une manière conforme sur le cercle | < | ^ i , en sorte qu'au point x = " • i 



de la bande correspond le centre du cercle. 



Considérons maintenant un anneau circulaire C limité par deux cercles de 

 rayons q et </ {q > q) ayant leur centre commun à l'origine. En faisant d'abord 



X = e"'*^, d où T = i log X , 



l'anneau C, parcouru une infinité de fois dans les deux sens, sera représenté 

 sur la bande limitée par deux parallèles à l'axe réel passant respectivement 

 par les points t = e log q et t = ^ log q . Posons donc 



a'o =: / çç' , 2 // = log -^^ , 



-, ,2/«, i + t 

 r = 1 log Xo-\ log 



st 1 — t 



Nous aurons 



(28) 



^ (if 



2), 



- 1 



+ 1 



transformation qui réalise la représentation conforme de l'anneau C sur le 

 cercle \t\<;i. , en sorte qu'au centre t = o du cercle correspond le point 

 Xq = \/^q' de l'anneau. 



La substitution (27) peut évidemment servir à l'étude des fonctions analy- 

 tiques pour les valeurs réelles de l'argument, dans les cas où l'on peut limiter 

 autour de l'axe réel une bande à l'intérieur de laquelle la fonction est régu- 



